素数寻找算法

找素数

暴力求解

  • 时间复杂度: O(n*sqrt(n))

原理

暴力求解是对[m,n]的每一个整数都判断是否为素数,由数学可知,一个数i的因数关于sqrt(i)对称分布,故我们只需判断[2,sqrt(i)]的整数中有没有i的因数即可

代码

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vector<int> fuckingFindPrime(int m,int n)
{
vector<int> prime;
if(m<=n)
{

for(int i=m; i<=n; i++)
{
bool flag = true;
for(int j=2; j<=sqrt(i); j++) //需要调用math.h头文件
{
if(!(i%j)){
flag = false;
break;
}
}
if(!flag) continue;
else prime.push_back(i);
}

}
return prime;
}

埃氏筛法

  • 时间复杂度: O(n*log(n))

原理

首先,2是最小质数,所以先把2在n以内的所有倍数筛选掉。然后,3也是质数,故把3的所有倍数筛选掉。4不是质数,且4为2的倍数,已经被筛选掉,跳过。5是质数。。。。然后依次类推,最后剩下的就都是质数了。

代码

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vector<int> EratosthenesSieve(int n)
{
vector<int> num;
vector<int> prime;
for(int i=0; i<=n; i++)
num.push_back(i);//把[0,n]的整数初始化
num[1] = 0; //1公认不是素数,把1去掉

for(int i=2; i<=n; i++)
{
if(!num[i])
continue;//被置为0的数不是素数,所以跳过本轮循环去判断下一个位置
prime.push_back(i); //是素数,保存到prime中
//以下为埃氏筛的关键,参考上文的“原理”部分
for(int j=i; i*j<=n&&j<n; j++)
num[i*j] = 0;
}

return prime;
}

提示

如果要寻找区间[m,n]的素数,只需用埃氏筛打表n以内的素数向量prime(或数组),然后在prime中找到不小于m的最小素数,一直输出到不大于n为止

比如,寻找[50,90]的素数,代码可以如下

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int main()
{
vector<int> prime = EratosthenesSieve(90);
int i=0;
while(prime[i]<50) i++;
for(int j=i; prime[j]<=90; j++)
cout << prime[j] << " ";
cout << endl;

return 0;
}

当然,这只是个简单的例子,你也可以用更高效的查找算法于prime中寻找,因为本文主题为寻找素数,所以查找方面不过多叙述

欧拉筛(线性筛)

  • 时间复杂度: O(n)

原理

其将合数分为 合数 = 最小质因数*合数 的形式,通过最小质因数判断是否被标记。故相对于埃氏筛,欧拉筛不会反复标记一个合数,效率更高。

代码

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vector<int> EulerSieve(int n)
{
int pNum = 0; //记录素数的个数
vector<int> prime;
vector<bool> isPrime; //用于标记

//对标记向量初始化
for(int i=0; i<n; i++)
isPrime.push_back(false);

for(int i=2; i<=n; i++)
{
if(!isPrime[i]) //没有被筛选过,则为素数
{
pNum++;
prime.push_back(i);
}
for(int j=0; j<pNum && i*prime[j]<=n; j++)
{
isPrime[i*prime[j]] = true; //将已经记录的素数倍数标记
//下方为欧拉筛的核心
if(!(i%prime[j])) break;
}
}
return prime;
}

核心

欧拉筛妙就妙在它的核心处

​ 若

i是prime[j]的整数倍k

​ 则

i · prime[j+1] = k · prime[j] · prime[j+1] = k · prime[j+1] · prime[j]

i · prime[j+1]为 prime[j] 的整数倍,不需要被标记,prime[j+2]…prime[j+…] 同理

​ 故

该推导告诉我们不需要去标记后面的数,直接跳出循环即可

提示

欧拉筛法同埃氏筛一样为打表方法,想要获取[m,n]的素数要去查表

作者

CairBin

发布于

2021-10-30

更新于

2021-10-30

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