KMP算法与前缀函数
说明
本文参考了 OI Wiki。
首先来明确几个概念:
- 后缀:后缀是从父串某个位置i开始到末尾结束的一个特殊字符串。
- 真后缀:不为父串本身的后缀字符串。
- 前缀:从父串开头到某个位置i结束的一个特殊字符串。
- 真前缀:不为父串的前缀字符串。
前缀函数
给定一个长度为$n$的字符串$s$,其前缀函数被定义一个长度为$n$的数组$\pi$,其定义为:
- 如果子串$s[0...i]$有一对相等的真前缀与真后缀:$s[0...k-1]$和$s[i-(k-1)...i]$,那么$\pi [i]$就是这个相等的真前缀(或者真后缀,因为它们相等)的长度,也就是$\pi [i] = k$
- 如果不止有一对相等的,那么$\pi [i]$就是其中最长的那一对的长度;
- 如果没有相等的,那么$\pi [i] = 0$。
简单来讲$\pi [i]$就是字串$s[0...i]$最长相等的真前缀和真后缀的长度,且特别规定$\pi [0] = 0$。
我们由此定义给出代码:
//前缀函数
vector<int> prefix; //前缀函数对应的数组,当然你可以将它写在prefix_func里面并最后返回
void prefix_func(const string& s) {
int n = (int)s.length();
prefix.resize(n);
for (int i = 1; i < n; i++) {
int j = prefix[i - 1];
while (j > 0 && s[i] != s[j]) j = prefix[j - 1];
if (s[i] == s[j]) j++;
prefix[i] = j;
}
}
KMP算法
复杂度
- 时间复杂度为 $O(n+m)$
- 空间复杂度为 $O(n)$
原理
Knuth–Morris–Pratt 算法原理如下:
给定一个文本$t$和一个字符串$s$,我们尝试找到$s$ 在$t$中的所有出现(用第一个字符的下标表示)。
为了简便起见,我们用$n$表示字符串$s$的长度,用$m$表示文本$t$的长度。
我们构造一个字符串 $s + \# + t$,其中$\#$为一个既不出现在$s$中也不出现在$t$中的分隔符。接下来计算该字符串的前缀函数。现在考虑该前缀函数除去最开始个$n+1$值(即属于字符串$s$和分隔符的函数值)后其余函数值的意义。根据定义,$\pi [i]$为右端点在$i$且同时为一个前缀的最长真子串的长度,具体到我们的这种情况下,其值为与$s$的前缀相同且右端点位于$i$的最长子串的长度。由于分隔符的存在,该长度不可能超过$n$。而如果等式$\pi [i] = n$成立,则意味着$s$完整出现在该位置(即其右端点位于位置$i$)。注意该位置的下标是对字符串$s + \# + t$而言的。
因此如果在某一位置$i$有$\pi [i] = n$成立,则字符串$t$在字符串$i - (n-1) - (n+1)$的$i - 2n$处出现。
正如在前缀函数的计算中已经提到的那样,如果我们知道前缀函数的值永远不超过一特定值,那么我们不需要存储整个字符串以及整个前缀函数,而只需要二者开头的一部分。在我们这种情况下这意味着只需要存储字符串$s + \#$以及相应的前缀函数值即可。我们可以一次读入字符串$t$的一个字符并计算当前位置的前缀函数值。
// kmp算法,haystack为文本,needle为所查找的字符串
vector<int> kmp(string haystack, string needle) {
string cur = needle + "#" + haystack;
int sz1 = haystack.size();
int sz2 = needle.size();
vector<int>v;
prefix_func(cur);
for (int i = sz2 + 1; i <= sz1 + sz2; i++) {
if (prefix[i] == sz2) v.push_back(i - 2 * sz2); //如果要首次出现的位置,从这里返回即可
}
return v;
}