找素数

暴力求解

• 时间复杂度： O(n*sqrt(n))

原理

暴力求解是对[m,n]的每一个整数都判断是否为素数，由数学可知，一个数i的因数关于sqrt(i)对称分布,故我们只需判断[2,sqrt(i)]的整数中有没有i的因数即可

代码

vector<int> fuckingFindPrime(int m,int n)
{
  vector<int> prime;
    if(m<=n)
    {
    
        for(int i=m; i<=n; i++)
        {
            bool flag = true;
            for(int j=2; j<=sqrt(i); j++)    //需要调用math.h头文件
            {
                if(!(i%j)){
                    flag = false;
                    break;
                }
            }
            if(!flag) continue;
            else prime.push_back(i);
        }
            
    }
  return prime;
}

埃氏筛法

• 时间复杂度： O(n*log(n))

原理

首先，2是最小质数，所以先把2在n以内的所有倍数筛选掉。然后，3也是质数，故把3的所有倍数筛选掉。4不是质数，且4为2的倍数，已经被筛选掉，跳过。5是质数。。。。然后依次类推，最后剩下的就都是质数了。

代码

vector<int> EratosthenesSieve(int n)
{
    vector<int> num;
    vector<int> prime;
    for(int i=0; i<=n; i++)
        num.push_back(i);//把[0,n]的整数初始化
    num[1] = 0;    //1公认不是素数，把1去掉
  
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        if(!num[i])
            continue;//被置为0的数不是素数，所以跳过本轮循环去判断下一个位置
        prime.push_back(i);    //是素数，保存到prime中
      //以下为埃氏筛的关键，参考上文的“原理”部分
        for(int j=i; i*j<=n&&j<n; j++)
            num[i*j] = 0;
    }
  
    return prime;
}

提示

如果要寻找区间[m,n]的素数，只需用埃氏筛打表n以内的素数到向量prime（或数组），然后在prime中找到不小于m的最小素数，一直输出到不大于n为止

比如，寻找[50,90]的素数，代码可以如下

int main()
{
    vector<int> prime = EratosthenesSieve(90);
    int i=0;
    while(prime[i]<50) i++;
    for(int j=i; prime[j]<=90; j++)
        cout << prime[j] << " ";
    cout << endl;
  
  return 0;
}

当然，这只是个简单的例子，你也可以用更高效的查找算法于prime中寻找，因为本文主题为寻找素数，所以查找方面不过多叙述

欧拉筛(线性筛)

• 时间复杂度： O(n)

原理

其将合数分为 合数 = 最小质因数*合数 的形式，通过最小质因数判断是否被标记。故相对于埃氏筛，欧拉筛不会反复标记一个合数，效率更高。

代码

vector<int> EulerSieve(int n)
{
    int pNum = 0;   //记录素数的个数
    vector<int> prime;
    vector<bool> isPrime;   //用于标记
  
    //对标记向量初始化
    for(int i=0; i<n; i++)
        isPrime.push_back(false);
  
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        if(!isPrime[i]) //没有被筛选过，则为素数
        {
            pNum++;
            prime.push_back(i);
        }
        for(int j=0; j<pNum && i*prime[j]<=n; j++)
        {
            isPrime[i*prime[j]] = true; //将已经记录的素数倍数标记
            //下方为欧拉筛的核心
            if(!(i%prime[j])) break;
        }
    }
    return prime;
}

核心

欧拉筛妙就妙在它的核心处

若

i是prime[j]的整数倍k

则

i · prime[j+1] = k · prime[j] · prime[j+1] = k · prime[j+1] · prime[j]

i · prime[j+1]为 prime[j] 的整数倍，不需要被标记，prime[j+2]...prime[j+...] 同理

故

该推导告诉我们不需要去标记后面的数，直接跳出循环即可

提示

欧拉筛法同埃氏筛一样为打表方法，想要获取[m,n]的素数要去查表