有向无环图——AOV网及拓扑排序

有向无环图

无环的有向图叫有向无环图，简称DAG图

其应用大致如下：

在工程计划和管理方面有着广泛而重要的应用
描述一项工程或系统的进行进程的有效工具
对整个工程和系统，人们关心的是两方面的问题：一是工程能否顺利进行；二是完成整个工程所必须的最短时间。对应到有向图即为进行拓扑排序和求关键路径。

这篇文章单独讨论AOV网及其拓扑排序

AOV网及拓扑排序

概念

AOV网：用顶点表示活动，用弧表示活动间优先关系的有向无环图称为顶点表示活动的网(Activity On Vertex network)，简称AOV网。

拓扑排序：把AOV网中各顶点按照它们相互之间的优先关系排列成一个线性序列（拓扑序列）的过程。若网中所有顶点都在它的拓扑有序序列中，则该拓扑序列就是一个工程顺利完成的可行方案；否则，该工程无法顺利完成。

拓扑排序方法：

从图中选择一个入度为0的顶点输出
从图中删除该顶点及源自该顶点的所有弧
重复以上两步，直至全部顶点都输出，拓扑排序顺利完成。否则，若剩有入度非0的顶点，说明图中有环，拓扑排序不能进行

拓扑排序代码

AOV网类定义

class aov {
public:
    aov() {}
private:
    class node {
    public:
        set<int> prev;    //前驱结点
        set<int> next;    //后继结点

        //备份
        set<int> back_prev;
        set<int> back_next;

    };

    unordered_map<int, node*> adjList;    //邻接表

public:
    void Insert(int index, initializer_list<int> lst);
    bool DeleteArc(int a, int b);
    void Sort();

private:
    void _Sort(unordered_map<int, node*> adjList);
};

插入操作

//插入
void aov::Insert(int index, initializer_list<int> lst) {
    //若当前结点不存在则创建
    node* n = this->adjList[index] ? this->adjList[index] : new node;

    for (auto it = lst.begin(); it != lst.end(); it++)
    {
        //将该节点后继插入到后继索引集合中去
        n->next.insert(*it);
        n->back_next.insert(*it);
        node* p = nullptr;
        
        //若后继结点不存在，则创建
        if (this->adjList[*it] == nullptr)
        {
            p = new node;
            this->adjList[*it] = p;
        }
        else {
            p = this->adjList[*it];
        }
        
        //向相连结点记入前驱
        p->prev.insert(index);
        p->back_prev.insert(index);
    }

    this->adjList[index] = n;    //保存至邻接表
}

删除关系

//删除a指向b之间的关系（注意，这里有方向规定）
bool aov::DeleteArc(int a, int b)
{
    //如果不存在a结点或b结点则返回false
    if (this->adjList[a] == nullptr || this->adjList[b] == nullptr)
        return false;

    node* p_a = this->adjList[a];
    node* p_b = this->adjList[b];

    auto p_a_find = p_a->next.find(b);
    auto p_b_find = p_b->prev.find(a);

    if (p_a_find != p_a->next.end())
        p_a->next.erase(p_a_find);

    if (p_b_find != p_b->prev.end())
        p_b->prev.erase(p_b_find);

    p_a_find = p_a->back_next.find(b);
    p_b_find = p_b->back_prev.find(a);

    if (p_a_find != p_a->back_next.end())
        p_a->back_next.erase(p_a_find);

    if (p_b_find != p_b->back_prev.end())
        p_b->back_prev.erase(p_b_find);


    return true;
}

拓扑排序

//拓扑排序
void aov::_Sort(unordered_map<int, node*> adjList)
{
    stack<int> st;

    if (adjList.size() == 0)
    {
        cout << endl;
        return;
    }

    for (auto it = adjList.begin(); it != adjList.end(); it++)
    {
        if (it->second->prev.size() == 0)
            st.push(it->first);
    }
    
    while (!st.empty())
    {
        int t = st.top();
        cout << t << " ";
        st.pop();

        //对t指向的每一个结点删除弧，及这些结点入度都减1
        for (auto it = adjList[t]->next.begin(); it != adjList[t]->next.end(); it++)
        {
            if (adjList[*it])
            {
                auto index = adjList[*it]->prev.find(t);
                if (index != adjList[*it]->prev.end())
                    adjList[*it]->prev.erase(index);
            }
        }

        adjList.erase(t);
    }

    _Sort(adjList);

}

void aov::Sort()
{
    _Sort(this->adjList);
    //排序会破坏结点之间的关系，利用备份重新回复原有关系
    for (auto it = this->adjList.begin(); it != this->adjList.end(); it++)
    {
        it->second->next = it->second->back_next;
        it->second->prev = it->second->back_prev;
    }

}

测试

int main()
{
    aov* v = new aov;
    
    v->Insert(1, { 2,3,4 });
    v->Insert(3, { 2,5 });
    v->Insert(4, { 5 });
    v->Insert(6, { 4,5 });

    v->Sort();
    v->Sort();
    return 0;
}