有向无环图——AOV网及拓扑排序
有向无环图
无环的有向图叫有向无环图，简称DAG图
其应用大致如下：
- 在工程计划和管理方面有着广泛而重要的应用
- 描述一项工程或系统的进行进程的有效工具
- 对整个工程和系统，人们关心的是两方面的问题：一是工程能否顺利进行；二是完成整个工程所必须的最短时间。对应到有向图即为进行拓扑排序和求关键路径。
这篇文章单独讨论AOV网及其拓扑排序
AOV网及拓扑排序
概念
AOV网：用顶点表示活动，用弧表示活动间优先关系的有向无环图称为顶点表示活动的网(Activity On Vertex network)，简称AOV网。
拓扑排序：把AOV网中各顶点按照它们相互之间的优先关系排列成一个线性序列（拓扑序列）的过程。若网中所有顶点都在它的拓扑有序序列中，则该拓扑序列就是一个工程顺利完成的可行方案；否则，该工程无法顺利完成。
拓扑排序方法：
- 从图中选择一个入度为0的顶点输出
- 从图中删除该顶点及源自该顶点的所有弧
- 重复以上两步，直至全部顶点都输出，拓扑排序顺利完成。否则，若剩有入度非0的顶点，说明图中有环，拓扑排序不能进行
拓扑排序代码
AOV网类定义
class aov {
public:
aov() {}
private:
class node {
public:
set<int> prev; //前驱结点
set<int> next; //后继结点
//备份
set<int> back_prev;
set<int> back_next;
};
unordered_map<int, node*> adjList; //邻接表
public:
void Insert(int index, initializer_list<int> lst);
bool DeleteArc(int a, int b);
void Sort();
private:
void _Sort(unordered_map<int, node*> adjList);
};插入操作
//插入
void aov::Insert(int index, initializer_list<int> lst) {
//若当前结点不存在则创建
node* n = this->adjList[index] ? this->adjList[index] : new node;
for (auto it = lst.begin(); it != lst.end(); it++)
{
//将该节点后继插入到后继索引集合中去
n->next.insert(*it);
n->back_next.insert(*it);
node* p = nullptr;
//若后继结点不存在，则创建
if (this->adjList[*it] == nullptr)
{
p = new node;
this->adjList[*it] = p;
}
else {
p = this->adjList[*it];
}
//向相连结点记入前驱
p->prev.insert(index);
p->back_prev.insert(index);
}
this->adjList[index] = n; //保存至邻接表
}删除关系
//删除a指向b之间的关系（注意，这里有方向规定）
bool aov::DeleteArc(int a, int b)
{
//如果不存在a结点或b结点则返回false
if (this->adjList[a] == nullptr || this->adjList[b] == nullptr)
return false;
node* p_a = this->adjList[a];
node* p_b = this->adjList[b];
auto p_a_find = p_a->next.find(b);
auto p_b_find = p_b->prev.find(a);
if (p_a_find != p_a->next.end())
p_a->next.erase(p_a_find);
if (p_b_find != p_b->prev.end())
p_b->prev.erase(p_b_find);
p_a_find = p_a->back_next.find(b);
p_b_find = p_b->back_prev.find(a);
if (p_a_find != p_a->back_next.end())
p_a->back_next.erase(p_a_find);
if (p_b_find != p_b->back_prev.end())
p_b->back_prev.erase(p_b_find);
return true;
}
拓扑排序
//拓扑排序
void aov::_Sort(unordered_map<int, node*> adjList)
{
stack<int> st;
if (adjList.size() == 0)
{
cout << endl;
return;
}
for (auto it = adjList.begin(); it != adjList.end(); it++)
{
if (it->second->prev.size() == 0)
st.push(it->first);
}
while (!st.empty())
{
int t = st.top();
cout << t << " ";
st.pop();
//对t指向的每一个结点删除弧，及这些结点入度都减1
for (auto it = adjList[t]->next.begin(); it != adjList[t]->next.end(); it++)
{
if (adjList[*it])
{
auto index = adjList[*it]->prev.find(t);
if (index != adjList[*it]->prev.end())
adjList[*it]->prev.erase(index);
}
}
adjList.erase(t);
}
_Sort(adjList);
}
void aov::Sort()
{
_Sort(this->adjList);
//排序会破坏结点之间的关系，利用备份重新回复原有关系
for (auto it = this->adjList.begin(); it != this->adjList.end(); it++)
{
it->second->next = it->second->back_next;
it->second->prev = it->second->back_prev;
}
}
测试
int main()
{
aov* v = new aov;
v->Insert(1, { 2,3,4 });
v->Insert(3, { 2,5 });
v->Insert(4, { 5 });
v->Insert(6, { 4,5 });
v->Sort();
v->Sort();
return 0;
}代码缺点
对于拓扑排序，我这种写法一开始没考虑好，使用指针进行拓扑排序会破坏结点之间的连接，因此使用了备份集合来回复，但这种操作会多占用一部分资源。
