二维变换
概念
应用于对象几何描述并改变其位置、方向或者大小的变换叫做几何变换，有时候也被叫做建模变换。而本文仅讨论平面中的几何变换，即二维变换。
矩阵表示和齐次坐标
对于普通的2x2矩阵，我们总是要将平移项与其它变换对应的矩阵写成不同规格，为了统一形式且方便运算，我们需要将2x2的矩阵扩展到3x3。此时，二为坐标必须用三元向量来表示。标准实现技术是将二维坐标$(x,y)$扩充到三维$(x_h,y_h,h)$，这称为齐次坐标，这个过程就被叫做齐次化。
对于每一个维度有
$$ x = \frac{x_h}{h},y=\frac{y_h}{h} $$
其中非零值$h$被称为齐次参数。
显然对于齐次参数，可以有无数个非零值，同样也意味着有无数个等价的齐次表达式。既然如此，为了方便计算，不妨令$h=1$。
平移变换
对于平移变换，我们可有参数方程
$$ \begin{cases} x^{'}=x+\delta x \\ y^{'} = y+\delta y \end{cases} $$
我们将方程组转换为矩阵的形式
$$ \begin{bmatrix} x'& y'& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x& y& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ \delta x& \delta y & 1 \end{bmatrix} $$
旋转变换
对于一个复杂的图形的旋转，我们可以看做是多个点在同时旋转。因此只需要研究出一个点的旋转变换方法就可以了。
我们不妨令点为平面任意一点，其绕原点进行旋转变换，该点的运动轨迹一定是一个以该点到原点连线为半径的圆弧。那么问题就简单了，对于旋转任意角度，我们只需要用圆的参数方程就能搞定，
$$ \begin{cases} x = \cos{\theta} \\ y = \sin{\theta} \end{cases} $$
对于我们假设旋转了$\alpha$的弧度（逆时针为正方向），则有
$$ \begin{cases} x' = \cos{(\theta+\alpha)}=\cos{\theta}\cos{\alpha}-\sin{\theta}\sin{\alpha}=x\cos{\alpha}-y\sin{\alpha} \\ y' = \sin{(\theta+\alpha)}=\sin{\theta}\cos{\alpha}+\cos{\theta}\sin{\alpha}=x\sin{\alpha}+y\cos{\alpha} \end{cases} $$
很显然对应矩阵形式为
$$ \begin{bmatrix} x'&y'&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x& y& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos{\alpha}& \sin{\alpha}& 0 \\ -\sin{\alpha}& \cos{\alpha}& 0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} $$
那么问题来了，如果所绕的旋转点不是原点怎么办呢？
前面已经讲过平移变换了，只需要平移坐标系原点至该点（移轴），再进行旋转，最后平移回去就行了。
不妨令被围绕点坐标为$P(x_1,y_1)$，则该流程的矩阵运算如下：
$$ \begin{bmatrix} x'& y'& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x& y& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -x_1& -y_1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos{\alpha}& \sin{\alpha}& 0 \\ -\sin{\alpha}& \cos{\alpha}& 0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ x_1& y_1 & 1 \end{bmatrix} $$
如果你对平移坐标系难以理解，不妨将坐标轴与平面想象成两个分离的东西。以坐标轴往右移动为例，则对于平面上的点来讲，就相当于坐标轴不动点向左平移。（平移坐标系只是移动的轴，不带平面上其他点，否则你会得到相反的结果！）
缩放变换
首先给出参数方程
$$ \begin{cases} x' = s_xx \\ y' = s_yy \end{cases} $$
对应矩阵运算为
$$ \begin{bmatrix} x'&y'&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x& y& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} s_x& 0& 0 \\ 0& s_y& 0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} $$
对称变换
关于对称变换可以是轴对称或者点对称。
我们先来看关于y轴对称：只需要纵坐标不变，横坐标取相反数即可。
矩阵运算如下
$$ \begin{bmatrix} x'&y'&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x& y& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1& 0& 0 \\ 0& 1& 0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} $$
同理可得关于y轴对称矩阵运算
$$ \begin{bmatrix} x'&y'&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x& y& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1& 0& 0 \\ 0& -1& 0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} $$
那么对于原点对称就有
$$ \begin{bmatrix} x'&y'&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x& y& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1& 0& 0 \\ 0& -1& 0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} $$
如果是对于平面中任意一点$P(x_1,y_1)$对称，则平移坐标系原点至该点，然后进行关于原点的对称，再平移回去就行。
$$ \begin{bmatrix} x'& y'& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x& y& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -x_1& -y_1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1& 0& 0 \\ 0& -1& 0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ x_1& y_1 & 1 \end{bmatrix} $$
如果是关于平面内任意一条直线对称，那比较麻烦了，你需要先平移坐标系到直线的一点，并旋转坐标系使x轴与直线重合，然后进行关于x轴的对称变换，再旋转回去，然后再平移回去。
特别地，如果直线斜率不存在，平移后直线与y轴重合，那么直接进行关于y轴对称然后再平移回去即可。
注意该过程的顺序，因为矩阵并不满足交换律！
这里实际上是有两个大坑的，我们不妨假设直线经过的两点分别为
$$ A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) $$
不失一般性，我们令
$$ x_1<=x_2 $$
我们在上面已经说过直线斜率不存在的情况了，这里仅讨论直线斜率存在的情况。直线斜率为
$$ k = \frac{\delta x}{\delta y}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$
我们想要得到直线与x轴的夹角，可以利用反正切函数
$$ \theta = \arctan{k} $$
但是事实就是如此吗？注意反正切函数的取值范围为$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，而直线倾斜角范围是$[0,\pi]$，即使挖去了$\frac{\pi}{2}$这个点（因为我们不讨论这种情况），范围仍不一致！
我们记倾斜角为$\alpha$，则有
$$ \alpha= \begin{cases} \theta,& 0\le \theta<\frac{\pi}{2} \\ \pi+\theta, &\theta<0 \end{cases} $$
现在开始进入第二个坑了，我们进行旋转倾斜角的时候，是顺时针还是逆时针？
我们不妨站在坐标系的角度来看，逆时针旋转倾斜角的角度，就相当于顺时针旋转图形这个角度。
也就是说，我们在进行第一次旋转变换时输入的角度参数应该为$-\alpha$
综上所述，矩阵运算为
$$ \begin{bmatrix} x'& y'& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x& y& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -x_1& -y_1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos{\alpha}& -\sin{\alpha}& 0 \\ \sin{\alpha}& \cos{\alpha}& 0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1& 0& 0 \\ 0& -1& 0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos{\alpha}& \sin{\alpha}& 0 \\ -\sin{\alpha}& \cos{\alpha}& 0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ x_1& y_1 & 1 \end{bmatrix} $$
错切变换
错切变换实际上是物体在投影平面上非垂直投影的结果。一般为水平错切和垂直错切，也可以同时对两个方向进行错切。
我们先来看看沿y轴方向的错切
显然有方程
$$ \begin{cases} x' = x \\ y' = y+x\tan{\theta} \end{cases} $$
有矩阵运算
$$ \begin{bmatrix} x'&y'&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x& y& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1& \tan{\theta}& 0 \\ 0& 1& 0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} $$
同理可得沿着x方向的错切矩阵运算
$$ \begin{bmatrix} x'&y'&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x& y& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1& 0& 0 \\ \tan{\theta}& 1& 0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} $$
同时沿着x方向和y方向的错切
$$ \begin{bmatrix} x'&y'&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x& y& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1& \tan{\alpha}& 0 \\ \tan{\theta}& 1& 0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \space \alpha,\theta \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) $$
刚体变换
如果一个矩阵仅包含平移参数和旋转参数，那么它就是一个刚体变换矩阵
$$ \begin{bmatrix} x'& y'& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x& y& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} r_{xx}& r_{yx}& 0\\ r_{xy}& r_{yy}& 0\\ tr_{x}& tr_{y}& 1 \end{bmatrix} $$
对于刚体变换左上角的2x2矩阵满足正交矩阵的特性。也就是说对于两个列向量$\begin{bmatrix}r_{xx}& r_{xy} \end{bmatrix}^{T}$和$\begin{bmatrix}r_{yx}& r_{yy} \end{bmatrix}^{T}$（或者两个行向量）形成单位向量的正交组，这样的向量也称为正交向量组。
对于每个向量具有单位长度，并且数量积为0：
$$ r_{xx}^2+r_{xy}^2=r_{yx}^2+r_{yy}^2=1 \\ r_{xx}r_{yx}+r_{xy}r_{yy} = 0 $$
如果这些向量通过旋转矩阵进行变换，则可得出x方向和y方向的单位向量
$$ \begin{bmatrix} r_{xx}& r_{xy}& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} r_{xx}& r_{yx}& 0\\ r_{xy}& r_{yy}& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1& 0& 1 \end{bmatrix} $$
$$ \begin{bmatrix} r_{yx}& r_{yy}& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} r_{xx}& r_{yx}& 0\\ r_{xy}& r_{yy}& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0& 1& 1 \end{bmatrix} $$
代码
对于二维变换的代码相对来讲较麻烦一些，我不太喜欢OpenGL所带的矩阵运算操作，因此我自己写了一套简单的矩阵模版类。由于代码相对较长，我这里仅放出这几个变换的代码片段。
class Polygon
{
public:
Transform::Matrix<GLdouble> *vex;
Polygon(Pts vex)
{
this->vex = new Transform::Matrix<GLdouble>(vex.size(), 3, {{}}, 0);
for (int i = 0; i < vex.size(); i++)
{
(*this->vex)[i][0] = vex[i].x;
(*this->vex)[i][1] = vex[i].y;
(*this->vex)[i][2] = 1;
}
}
~Polygon()
{
delete vex;
}
Polygon *Translate(const Point &end)
{
vector<vector<GLdouble>> temp{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {end.x, end.y, 1}};
Transform::Matrix<GLdouble> t(3, 3, temp);
(*vex) = (*vex) * t;
return this;
}
Polygon *Draw()
{
// cout << "Start" << endl;
glBegin(GL_POLYGON);
for (GLint i = 0; i < vex->CountRow(); i++)
{
// cout << i << ": " << (*vex)[i][0] << " " << (*vex)[i][1] << endl;
glVertex2d((*vex)[i][0], (*vex)[i][1]);
}
glEnd();
return this;
}
Polygon *Rotate(Point p, GLdouble radian)
{
Transform::Matrix<GLdouble> t1(3, 3, {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {-p.x, -p.y, 1}});
Transform::Matrix<GLdouble> t2(3, 3, {{cos(radian), sin(radian), 0}, {-sin(radian), cos(radian), 0}, {0, 0, 1}});
Transform::Matrix<GLdouble> t3(3, 3, {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {p.x, p.y, 1}});
(*vex) = (*vex) * t1 * t2 * t3;
return this;
}
Polygon *Scale(GLdouble x, GLdouble y)
{
if (x <= 0 || y <= 0)
{
cout << "WARNING: Invalid parameters" << endl;
return this;
}
Transform::Matrix<GLdouble> t(3, 3, {
{x, 0, 0},
{0, y, 0},
{0, 0, 1},
});
(*vex) = (*vex) * t;
return this;
}
Polygon *PointReflect(const Point &p)
{
Transform::Matrix<GLdouble> t1(3, 3, {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {-p.x, -p.y, 1}});
Transform::Matrix<GLdouble> t2(3, 3, {
{-1, 0, 0},
{0, -1, 0},
{0, 0, 1},
});
Transform::Matrix<GLdouble> t3(3, 3, {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {p.x, p.y, 1}});
*vex = (*vex) * t1 * t2 * t3;
return this;
}
Polygon *LineReflect(const Point &start, const Point &end, bool showAxis = false)
{
GLdouble x1 = start.x, x2 = end.x, y1 = start.y, y2 = end.y;
if (x1 > x2)
swap(x1, x2), swap(y1, y2);
if (showAxis)
{
glBegin(GL_LINES);
glVertex2d(x1, y1);
glVertex2d(x2, y2);
glEnd();
}
this->Translate({-x1, -y1});
GLdouble dy = y2 - y1;
GLdouble dx = x2 - x1;
if (dx == 0)
{
Transform::Matrix<GLdouble> t(3, 3, {{-1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}});
*vex = (*vex) * t;
this->Translate({x1, y1});
return this;
}
GLdouble rad = atan(dy / dx);
if (rad < 0)
rad = 4 * atan(1) + rad;
this->Rotate({0, 0}, -rad);
Transform::Matrix<GLdouble> t1(3, 3, {{1, 0, 0}, {0, -1, 0}, {0, 0, 1}});
*vex = (*vex) * t1;
this->Rotate({0, 0}, rad);
this->Translate({x1, y1});
return this;
}
Polygon *Shear(const Point &sh)
{
Transform::Matrix<GLdouble> t1(3, 3, {{1, sh.y, 0}, {sh.x, 1, 0}, {0, 0, 1}});
*vex = (*vex) * t1;
return this;
}
};完整代码请参考我的Github仓库: 2D变换-Github
